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Übungsaufgaben zur Mathematik in 13.1 (Leistungskurs) |
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Bitte, lö sen Sie die folgenden
Aufgaben innerhalb von 135 Minuten! Hilfsmittel:
nichtprogrammierbarer Taschenrechner, Formelsammlung mit geringfügigen
handschriftlichen Ergä nzungen |
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| 1. |
Gegeben ist die ganzrationale Funktion f
mit f(x) = x7 + 5x4 – 3x2 + 6 |
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| a) |
Entwickeln Sie f an der Stelle x0
= - 2 in eine Taylor-Reihe. |
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| b) |
Was bedeutet f(x – 2)? (Begründung!) |
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| 2. |
Durch die Vorschrift x ó ô sin t Si (x) = ô ------- dt ist die Funktion sinus
integralis ô t õ0 definiert. |
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ó ô sin t Das Integral ô ------- dt ist geschlossen nicht lö sbar. ô t õ |
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| a) |
Leiten Sie eine Funktionsgleichung für sinus integralis her, indem Sie a.1 die Funktion f mit f(x) = sin (x) in eine Mac-Laurin-Reihe entwickeln (mindestens 7 Ableitungen)
und daraus a.2 eine Potenzreihe für Si (x)
entwickeln. Begründen Sie Ihre
Vorgehensweise. x3 x5 x7 Ergebnis: Si (x) = x - -------- + -------- - ------ - +... 3! * 3 5! * 5 7! * 7 |
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| b) |
Berechnen Sie den Konvergenzradius der
Reihe für sinus integralis. |
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| c) |
Unten finden Sie einen Ausschnitt aus
einem Pascal-Programm
zur Berechnung von Funktionswerten dieser Funktion. Geben Sie für die
Eingabewerte x_Wert
= 1 Genauigkeit = 0.0001 die Wertbelegung aller
Variablen innerhalb der Prozedur " Berechnung" an, bis die Funktionswertberechnung von Si (x_Wert)
beendet ist. |
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| d) |
Beschreiben Sie das Konvergenzverhalten,
das sich hierin zeigt, und begründen Sie
es. |
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| e) |
Begründen Sie, warum die Abbruchbedingung
in der Wiederhol |
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Zu Aufgabe 2 PROGRAM Sinus_integralis (*-----------------Berechnet
den Funktionswert ---------------------*) (*-------------von Sinus_integralis an der
Stelle x_Wert------------*) VAR x_Wert,
Genauigkeit, Sinus_Integralis : REAL PROCEDURE Berechnung (* von Sinus Integralis
*) VAR x_Quadrat, Summand, x_hoch_I_durch_I_Fakultaet
:
REAL
I : INTEGER BEGIN x_Quadrat := x_Wert * x_Wert x_hoch_I_durch_I_Fakultaet
:= x_Wert I := 1 Sinus_Integralis :=
x_Wert
REPEAT I :=
I + 2 x_hoch_I_durch_I_Fakultaet :=
-x_hoch_I_durch_I_Fakultaet * (x_Quadrat
/ (I * (I-1))) Summand := x_hoch_I_durch_I_Fakultaet
/ I Sinus_Integralis
:= Sinus_Integralis + Summand UNTIL ABS (Summand) < = Genauigkeit END
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